在目前流行的众多固体物理教科书中，关于Wigner-Seitz晶胞讲得很笼统，有很多具体例子并没有涉及到，甚至会使读者产生误解。有一本书写得很好，有兴趣的可以参考：

C. J. Bradley and A. P. Cracknell, The mathematical theory of symmetry in solids: representation theory for point groups and space groups, Oxford, Clarendon Press, 1972.

以下是两个比较典型的问题。

1. Brillouin Zone未必选用Wigner-Seitz晶胞

对于三斜晶系和单斜晶系，它们的Wigner-Seitz晶胞形状比较复杂，例如对一般的三斜晶系，Wigner-Seitz晶胞是不规则十四面体 （见图1.a）。因此Bradley和Cracknell建议，这类晶系的Brillouin Zone不用Wigner-Seitz晶胞，而是用初基晶胞（需要把坐标原点放在体心位置，见图1.b）。

详细说明，参见书的92页。Brillouin Zone图和特殊点见96-97页的图3.2，3.3，和3.4。也可以参考这篇文章：
C. J. Bradley and A. P. Cracknell, Some comments on the theory of space-group representations: I, J. Phys. C: Solid State Phys., 3(3), 610-618, 1970.

推广到二维（平面群和层群）情况：可以把3D体系投影到2D平面上，三斜晶系和部分单斜晶系对应于2D的斜方晶系。它们的初基晶胞为平行四边 形，Wigner-Seitz晶胞是一个不规则六边形（见图2。图中虚线部分是Wigner-Seitz晶胞，实线部分是四个初基晶胞）。即然二者面积相 同，且具有相同的对称操作，那么显然用初基晶胞作为Brillouin Zone更方便（需要把初基晶胞的中心移到原点）。

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布里渊区

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2. 菱形晶系

菱形晶系的初基晶胞是菱形六面体（见图3），那么它的Wigner-Seitz晶胞是什么样子呢？也是菱形六面体吗？

它的Wigner-Seitz晶胞实际上非常复杂。根据惯用晶胞晶格参数（即，采用六角晶胞时）的不同关系，又分成了a大于sqrt(2)*c和a 小于sqrt(2)*c。在倒空间中，前者是十二面体（见图4.a），后者是十四面体（见图4.b）。实空间的Wigner-Seitz晶胞正好相反。关 于Brillouin Zone的特殊点，见书106-107页的图3.11(a)和(b)。（注）

一点疑问：对于菱形晶系，既然初基晶胞和Wigner-Seitz晶胞的体积和对称操作都相同，而后者又如此复杂，为什么不像上面那样，用初基晶胞作为Brillouin Zone呢？

注：根据菱形晶胞和六角晶胞之间的几何关系，还可以认为：当cos(θ)∈(-1/2,-2/7)，即θ∈(106.6°,120°)时，倒空间的Wigner-Seitz晶胞是十二面体；当cos(θ)∈(-2/7，1)，即θ∈(0°,106.6°)时，倒空间的Wigner-Seitz晶胞是十四面体；θ在120°以上的菱形晶胞不存在。其中θ是菱形晶胞三格矢间的三个相等夹角。实空间的Wigner-Seitz晶胞正好相反。

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注：以上所有的3D图用MATLAB绘制。